Booth 乘法竖式速算

例 1： $X=-0.1010,\ Y=-0.1011$ #

先写补码。被乘数写双符号位的 $[X]_{\text{补}}$ 和 $[-X]_{\text{补}}$ ，乘数写单符号位：

\begin{aligned} [X]_{\text{补}}&=11.0110\\ [-X]_{\text{补}}&=00.1010\\ [Y]_{\text{补}}&=1.0101 \end{aligned}

第一步永远是 $Y$ 结尾无脑补一个 0，变成 1.01010。

然后从左向右，依次用右边一位减去左边一位，如下过程：

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0-1=-1
1-0=1
0-1=-1
1-0=1
0-1=-1

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乘数： 1 . 0  1  0  1  0
系数：-1 . 1 -1  1 -1

和小学竖式一样，列乘法竖式。从系数低位开始，从右向左乘过去： $-1$ 就写 $[-X]_{\text{补}}$ ， $1$ 就写 $[X]_{\text{补}}$ ，每往下一行向左错开一位。

每一行首位数是 1 就往左补齐 1，是 0 就补齐 0。比如 $[X]_{\text{补}}$ 110110 补齐成 111110110。

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然后相加，留头两位作为符号，得到 00.01101110：

\boxed{[X\cdot Y]_{\text{补}}=0.01101110}

\begin{aligned} [X]_{\text{补}}&=11.0011\\ [-X]_{\text{补}}&=00.1101\\ [Y]_{\text{补}}&=0.1011 \end{aligned}

$Y$ 结尾补 0，变成 0.10110。从左向右，右边一位减去左边一位：

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1-0=1
0-1=-1
1-0=1
1-1=0
0-1=-1

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乘数： 0 . 1  0  1  1  0
系数： 1 .-1  1  0 -1

还是系数从右到左依次乘过去。遇到系数 $0$ 那一行直接写一排 0；或者干脆不写下一行直接多错一位就行：

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相加，留头两位作为符号，得到 11.01110001：

\boxed{[X\cdot Y]_{\text{补}}=1.01110001}

01 就是正溢出：结果超出了定点小数能表示的范围。

单符号位的补码小数只能表示 $-1\le x<1$ ：最小是 1.0000，即 $-1$ ；最大是 0.1111，即 $1-2^{-4}$ 。 $+1$ 写不出来。

两个数都在这个范围里，乘积的绝对值不会超过 $1$ 。只有 $X=Y=-1$ 时乘积正好等于 $+1$ ，这时溢出。

10 不会出现：10 要求乘积小于 $-1$ ，必须有一个数是 $+1$ ，不过 $+1$ 表述不出来。

原码就是符号位加绝对值，比如 $-0.1101$ 的原码是 1.1101。

原码乘法更简单，就是小学竖式：符号位异或，数值部分直接乘，不用补符号位。

符号： $1\oplus0=1$ 。

数值：

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\boxed{[X\cdot Y]_{\text{原}}=1.10001111}

和例 2 是同一道题，把例 2 的补码结果 1.01110001 数值位取反加一，正好也是 1.10001111。